球坐標：計算教程

ratna866

球坐標系在各種微積分和物理問題中非常有用。當然，曲線座標的引入已經使我們能夠比僅僅使用笛卡爾座標更精確地對幾何問題進行各種簡化和描述。此外，這個主題在中級和高級微積分的測試和評估中仍然經常出現，因此，有必要充分掌握該主題。 考慮到這一點，我們為您帶來了關於球坐標的實用且簡單的教程。事實上，在本文中，我們將向您展示什麼是球坐標係以及如何在積分中使用該系統。因此，我們將解決非常有趣的問題，涉及立體角和可以放置在這些座標中的空間區域的問題。所以，gurunauta，和我們一起來，今天我們將教您有關球坐標的所有知識，以便您在測試中取得好成績。 球坐標系 球坐標係與極坐標系和柱坐標係有些不同。當然，與這些系統不同的是，這裡除了徑向座標之外，我們還有兩個角度來描述點，並且我們擁有的角度是方位角（0到pi值之間包含的方位角的度量）和極角（測量極角類似於我們在其他系統中已經看到的，在0 到2 pi 之間）。 至此，很明顯，包含徑向座標將使我們能夠描述超出歐幾里德平面的座標，事實上，利用這三個座標，我們將能夠定位三維歐幾里德空間的點。事實上，請看下面的球坐標系圖。 球坐標系示意圖。 圖 1. 球坐標系相對於笛卡爾座標系的示意圖。資料來源：來自作者。 此外，由此我們可以建立笛卡爾和球面分量之間的關聯定律，也就是我們可以寫出從笛卡爾系統到球面系統的變換，這是透過以下關係完成的： 球坐標的描述。 此外，重要的是要強調這種轉變的限制和有趣的方面。

首先，請注意它會導致以下關係 這與我們在極地系統中的情況類似，但是，這裡包含 z^2 會使系統變成半徑為 r 的球體而不是圓。此外，重要的是要強調變數的局限性 0≤r≤無窮 大 0≤θ≤2π 0≤Φ≤π 也就是說，方位角掃過系統中與我們有興趣描述的幾何集合的高度 zo 相關的部分。另一方面， 美國電話號碼 其他變數遵循極坐標系和/或柱坐標的相同描述。 球坐標中的雅可比行列式和積分 當然，球坐標系的一大用途是用來計算三重積分。事實上，有幾個問題，特別是那些與計算體積相關的問題，如果我們使用球坐標，這些問題會更容易處理，因為有時問題本身已經具有某種類型的對稱性。從這個意義上說，讓我們開始討論如何使用這個新的座標系，但是，有必要記住變換的雅可比行列式。 簡而言之，雅可比行列式是出現在積分的無限小面積元素中的乘法項，它使我們能夠正確地將笛卡爾座標中的積分連接到球座標中。所以，這個術語對於我們的發展至關重要，考慮到它的重要性，我們將和您一起逐步推演。然後，使用我們在上一節中介紹的變換來追蹤雅可比行列式的發展。 最初，我們將計算每個變換分量的導數矩陣，如下所示。 計算球坐標變換的雅可比行列式。 因此，考慮到這一點，我們可以計算所需的雅可比行列式，因為這只是上面矩陣的行列式。實際上，我們將會有以下的發展。



球坐標中雅可比行列式的逐步計算。 考慮到這一點，無窮小元素的對應是 dV = dxdydz = r 2 sin(Φ)drdΦdθ 因此，幾何區域的描述保持一致，以便您最終可以毫無問題地使用變數到球坐標的變化。 無窮小面積元：了解立體角 除了球坐標及其變換之外，該系統中還出現了另一個非常有趣的元素。當然，立體角除了是物理應用和幾何問題中反覆出現的元素之外，也是一個令人頭痛的數學實體。不過，在這裡我們想向您介紹什麼是立體角。 一般來說，我們可以將立體角視為與固定距離 R 的角度部分特定相關的視角。好吧，我們可以使用下圖來示意這個角度，我們將其表示為大寫歐米茄。 用於說明立體角的球體示意圖 圖 2. 用於說明立體角的球體示意圖。資料來源：來自作者。 因此，看到立體角投影了一個表面區域S，我們可以將其視為從立體角透視的視野區域。此外，我們可以從這個區域（我們稱之為 A）計算立體角，對於完整元素和無窮小元素，我們有以下公式 立體角的表達式。 如您所看到的，立體角直接連結球座標，而與之相關的無窮小體積元可以寫為 dV = dΩr 2 dr。 解決球坐標的簡單問題 現在，作為球坐標計算的實際應用，我們將計算與球體相關的兩個量。實際上，我們將以與二重積分類似的方式計算球體的體積，並且還將計算球體的表面積。為此，我們將假設一個半徑為 R 的完整球體。因此，該問題的積分極限由下式明確定義： 0≤r≤R 0≤θ≤2π 0≤Φ≤π 這樣，我們就可以繼續計算接下來要完成的體積。 在球坐標中透過三重積分計算球體的體積。